三角函数

锐角三角函数：直角三角形中边与角的比值关系

在直角三角形中，锐角θ的正弦 sinθ = 对边/斜边，余弦 cosθ = 邻边/斜边，正切 tanθ = 对边/邻边。三个比值只与角度θ有关，与三角形大小无关。

在直角三角形中固定一个锐角θ，由相似三角形性质可知：任意两个含相同锐角θ的直角三角形都相似，对应边成比例，因此对边/斜边、邻边/斜边、对边/邻边这三个比值恒定，只由θ决定。动画中动点P在斜边上移动，其垂足D构成的直角三角形与原三角形相似，比值不变。

测量高度：已知距离和仰角，用 tanθ = 高度/距离 求楼高或树高

斜坡问题：坡度 i = tanθ，如"坡度1:3"即 tanθ = 1/3

物理分解：力的正交分解中，分力 = 合力 × sinθ 或 cosθ

sinθ、cosθ、tanθ 都是θ的函数，θ变化时比值随之变化

sinθ 随θ增大而增大（0°→90°：0→1），cosθ 随θ增大而减小（0°→90°：1→0），tanθ 随θ增大而增大（0°→90°：0→∞）

特殊角必背：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3；sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1

易错点：sinθ 不是"sin×θ"，是整体符号；对边/邻边必须相对于指定锐角而言

直角三角形中，sinA = cos(90°-A)，互余两角三角函数关系

已知直角三角形两边求锐角三角函数值（先求第三边，再套定义）

已知一个三角函数值求其他三角函数值（用勾股定理设参）

实际应用题：测高、坡度、方位角等，建立直角三角形模型

拖动"角度θ"滑块，观察三角形形状变化及右侧数据看板中 sin/cos/tan 值实时更新

点击"暂停/播放"按钮或按空格键，可暂停自动演示，逐帧观察角度与比值的关系

观察斜边上的橙色动点P及其垂线，理解"相似三角形对应边成比例"的证明思路

暂停动画，提问：θ=30°时 sinθ 是多少？拖动滑块验证

让学生预测：θ从10°变到80°，cosθ 如何变化？再拖动验证

对比观察：保持θ不变，拖动动点P沿斜边移动，比值是否改变？（不变，因为相似）